TY  - THES
AB  - Die vorliegende Arbeit besteht (hauptsächlich) aus drei Teilen: Zum einen werden Hausdorff-Maße auf Produkträumen über lokalen Körpern definiert. Hier werden dann iterierte Funktionensysteme betrachtet, für deren Attraktoren die Hausdorff-Dimension abgeschätzt werden kann. Danach werden Streifenprojektionsmengen (cut and project sets) betrachtet; für Punktmengen, die sich mittels einer Substitutionsregel erzeugen lassen, werden Bedingungen angegeben, die garantieren, dass sie sich auch als Streifenprojektionsmenge schreiben lassen. Angewandt werden die so entwickelten Methoden und Ergebnisse auf Pisot Substitutionen. Es wird vermutet, dass sich alle durch Pisot Substitutionen erzeugten (1-dimensionalen) Punktmengen als Streifenprojektionsmengen schreiben lassen. Dazu wird eine Liste äquivalenter Bedingungen formuliert.
In Kapitel 4 wird zunächst gezeigt, dass das Haar-Maß auf einem Produktraum über lokalen Körpern ein Hausdorff-Maß ist (Theorem 4.56). Danach werden iterierte Funktionensysteme und ihr jeweiliger Attraktor betrachtet. Indem Ergebnisse von K. J. Falconer (über R^n) verallgemeinert werden, erhält man obere (Prop. 4.122) bzw. in manchen Fällen auch untere (Lemma 4.126 & Props. 4.127 & 4.129) Schranken für die Hausdorff-Dimension (wie auch die Box-Counting Dimension (Lemma 4.133)) dieser Attraktoren.
Kapitel 5 steht im Zeichen von Streifenprojektionsmengen und Delone-Punktmengen, die durch Substitutionen erzeugt werden, sowie ihrer Beziehungen zueinander. In Abschnitt 5.3 wird gezeigt, wie man - nach Baake-Moody - insbesondere im Fall einer Delone-Menge mit mehreren Komponenten ein dazugehörendes Streifenprojektionsschema konstruiert. Diese Konstruktion lässt sich im Fall einer Substitutionsmenge übertragen und erweitern (Abschnitt 5.7.3), falls eine sogenannte algebraische oder Überlapp-Koinzidenz vorliegt; tatsächlich erhält man hier einen "vergrößerten" internen Raum (Prop. 5.137). Zentrale Aussage ist nun Theorem 5.154, das äquivalente Bedingungen dafür angibt, dass eine Substitutionsmenge eine Streifenprojektionsmenge ist: Entweder besitzt die Substitution eine algebraische oder Überlapp-Koinzidenz, oder es existiert eine bestimmte aperiodische Parkettierung des (erweiterten) internen Raumes.
Angewandt wird dies in Kapitel 6 auf Sequenzen, die von Pisot Substitutionen herrühren (Theorem 6.77). Allerdings kommen hier weitere äquivalente Bedingungen dazu, so z.B. dass eine bestimmte periodische Parkettierung des internen Raumes existiert (siehe Prop. 6.72), oder dass die sogenannte "geometrische Koinzidenz-Bedingung" (GCC) erfüllt ist (dazu wird auch eine graphentheoretische Formulierung angegeben, siehe Abschnitt 6.9). Die komplette Liste aller somit gefundenen äquivalenten Bedingungen - und somit die zentrale Aussage dieser Arbeit - ist dann Theorem 6.116. Dabei sind auch schon diejenigen äquivalenten Aussagen mitaufgenommen, die sich erst im Kapitel 7 aus allgemeinen Betrachtungen über Diffraktionsmaße von Delone-Mengen, dem Spektrum von durch Delone-Mengen erzeugten dynamischen Systemen oder der sogenannten Torus-Parametrisierung für Streifenprojektionsmengen ergeben (Kapitel 7 ist hauptsächlich ein Überblick über schon bekannte Ergebnisse in der Literatur).
Um die erhaltenen Aussagen in den größeren Zusammenhang einzuordnen, werden außerdem die "sichtbaren Gitterpunkte" (Kapitel 5a), Parkettierungen in der Ebene (Kapitel 6a), Gittersubstitutionssysteme (Kapitel 6b), sowie reduzible Pisot Substitutionen und [beta]-Subsitutionen (Kapitel 6c) besprochen und mit den erarbeiteten Methoden behandelt.
DA  - 2006
KW  - Quasikristall , Fraktale Dimension , Zeichenkette , Parkettierung , Beugung , Streifenprojektionsmenge , Pisot Substitution , Sichtbare Gitterpunkte , Diffraktionsspektrum , Dynamisches Spektrum , Model sets , Iterated function systems , Pisot substitutions , Diffraction spectrum , Dynamical spectrum , Adelic spaces
LA  - eng
PY  - 2006
TI  - Pisot substitutions and beyond
UR  - https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:361-11555
Y2  - 2024-11-22T00:58:13
ER  -