TY  - THES
AB  - Nach einer Einordnung der Ergebnisse in ihre jeweiligen Gebiete im ersten Kapitel beschäftigt sich das zweite Kapitel mit zufälligen Pflasterungen eines Sechsecks mit 60-Grad-Rauten und festen Randbedingungen. Dabei wird die Gleichverteilung auf der Menge der Pflasterungen eines Sechsecks mit Seitenlängen r,s,t angenommen und das Grenzverhalten studiert, wenn r,s und t proportional gegen unendlich streben. Gewisse Statistiken verhalten sich dann wie die Eigenwerte großer Zufallsmatrizen aus dem Gaußschen Unitären Ensemble. Dies ist in der Literatur eingehend besprochen worden. Im Kapitel 2 wird gezeigt, dass diese Verteilungen auch im Unterensemble symmetrischer Pflasterungen auftreten oder, äquivalent dazu, im Ensemble der Pflasterungen des "halbierten" Sechsecks. Dabei fällt auch ein Beweis des "Arctic Circle"-Phänomens für dieses Ensemble ab: Entlang der dem Sechseck eingeschriebenen Ellipse findet ein scharfer Übergang von einem hochgeordneten zu einem ungeordneten Regime statt. Dieses Phänomen ist im genannten Unterensemble bisher nur in einer Arbeit von Forrester und Nordenstam vermutet worden.
Das dritte Kapitel beschäftigt sich mit ebenen Partitionen in einer r mal s mal t-Box. Dies sind r mal s-Matrizen mit nichtnegativen ganzen Einträgen kleiner oder gleich t, die entlang der Zeilen und Spalten monoton abfallen. Das Volumen einer ebenen Partition ist die Summe der Einträge. Es wird für r,s,t fest die Gleichverteilung angenommen und gezeigt, dass die zentrierten und normalisierten Volumenzufallsvariablen schwach gegen die Standardnormalverteilung konvergieren, falls von r,s,t zwei Werte gegen unendlich streben. Analoge Ergebnisse gelten auch für Symmetrieunterklassen.
Im vierten Kapitel werden Flächengesetze für Symmetrieunterklassen von Treppenpolygonen hergeleitet. Diese bestehen aus zwei gerichteten Pfaden auf dem Quadratgitter mit denselben Start- und Endpunkten, aber ohne gemeinsame Vertizes dazwischen. Es wird die asymptotische Verteilung der Fläche im Limes eines großen Umfangs untersucht, wobei die Gleichverteilung auf allen Polygonen desselben festen Umfangs mit vorgeschriebener Symmetrie angenommen wird. Die Grenzverteilungen sind, abgesehen von einigen trivialen Fällen, die Flächenverteilungen der Brownschen Exkursion und des Brownschen Mäanders.
Im fünften Kapitel werden schließlich zwei Klassen von selbstmeidenden Polygonen auf dem Quadratgitter abgezählt, d.h. ihre erzeugenden Funktionen werden ausgerechnet und analysiert. Es handelt sich dabei um "vorausschauende Polygone" (prudent polygons), d.h. beim Durchlaufen der Randkurve von einem ausgezeichneten Startvertex zum Endvertex wird nie ein Schritt in Richtung eines bereits besuchten Vertex gegangen. Für die erzeugende Funktion der allgemeinen Klasse solcher Polygone kann man bis dato nur ein System von Funktionalgleichungen angeben. Erfolgreicher dagegen sind die Untersuchungen zu zwei natürlichen Unterklassen. Diese können vollständig gelöst, d.h. ihre erzeugenden Funktionen explizit angegeben werden. Die erzeugende Funktion der kleineren Klasse ist algebraisch und unter anderem Namen schon aus der Literatur bekannt. Für die erzeugende Funktion der größeren Klasse wird eine Darstellung als unendliche Reihe von algebraischen Funktionen angegeben. Für diese wird gezeigt, dass sie keine lineare Differentialgleichung mit polynomialen Koeffizienten erfüllt.
DA  - 2010
KW  - Gitterpfad
KW  - Stochastische Matrix
KW  - Abzählende Kombinatorik
KW  - Asymptotik
KW  - Zufallsmatrix
KW  - Kombinatorische Wahrscheinlichkeit
KW  - Lattice path
KW  - Random matrix
KW  - Enumerative combinatorics
KW  - Asymptotics
KW  - Combinatorial probability
LA  - eng
PY  - 2010
TI  - Combinatorial and probabilistic aspects of lattice path models
UR  - https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:361-16740
Y2  - 2024-11-22T14:18:51
ER  -