TY - THES AB - Die vorliegende Arbeit behandelt Diffraktionseigenschaften gewisser zufälliger Strukturen. Hierbei sind die Strukturen beschrieben durch (gewichtete) Zählmaße. Untersucht werden dann die zugehörigen Diffraktionsmaße, die durch die Fourier-Transformierten der jeweiligen Autokorrelationsmaße gegeben sind. Bei der ersten Klasse betrachteter Strukturen handelt es sich um Mengen mit beschränkter lokaler Komplexität (FLC-Mengen) in R^d, die zufällig mit Gewichten aus einer kompakten Teilmenge der komplexen Zahlen versehen werden. Der Zufallsmechanismus ist durch eine Klasse von Gibbs-Maßen gegeben. Damit Ergodensätze zur Analyse der Diffraktionsmaße benutzt werden können, betrachten wir passend konstruierte maßtheoretische dynamische Systeme der gewichteten FLC-Mengen. Im Hochtemperaturregime garantiert das Dobrushinsche Eindeutigkeitskriterium die Existenz und Eindeutigkeit kurzreichweitiger Gibbs-Maße auf den einzelnen FLC-Mengen und liefert Abschätzungen für die Kovarianzen der Einpunkt-Funktionen (Proposition 2.22). Die Gibbs-Maße auf den einzelnen FLC-Mengen können dann zu einem Gibbs-Maß auf dem ganzen dynamischen System fortgesetzt werden. Als erstes Resultat geben wir hinreichende Bedingungen für die Ergodizität des so konstruierten Gibbs-Maßes Theta (Theorem 2.29). Danach betrachten wir zunächst ein verwandtes dynamisches System, das die Punkte der FLC-Mengen konstant mit den erwarteten Gewichteten versieht. In Lemma 2.36 geben wir eine Bedingung dafür, dass dieses System reine Punkt-Diffraktion besitzt. Dank der Ergodizität von Theta können wir die Diffraktionsmaße fast sicher zerlegen in einen Teil, der der Diffraktion des verwandten dynamischen Systems entspricht, und einen Teil, der durch die Kovarianzen der Einpunkt-Funktionen bestimmt ist. Die vorher gewonnene Abschätzung für jene Kovarianzen sorgt dafür, dass letzterer Teil als absolut stetig bezüglich des Lebesgue-Maßes identifiziert werden kann (Theorem 2.40 und Corollary 2.41). Ein singulärstetiger Anteil des Diffraktionsmaßes ist unter den gemachten Annahmen nicht vorhanden. Die zweite betrachtete Klasse von Strukturen ist gegeben durch Realisierungen des Maternschen Hard-Core-Punktprozesses P_R. Im Fall von ergodischen Punktprozessen gibt es direkte Zusammenhänge zwischen zweiten Momenteigenschaften des jeweiligen Prozesses und dem Autokorrelations- bzw. Diffraktionsmaß fast aller Realisierungen. Eine Verbindung zum Palmschen Maß ist die bekannteste. In Proposition 3.8 wird nun noch eine Beziehung zum Bartlett-Spektrum nachgewiesen. Nachdem wir die Ergodizität des Prozesses P_R gezeigt haben (Proposition 3.9), nutzen wir die bekannte zweite Produktdichte des Prozesses, um die Autokorrelation P_R fast sicher zu bestimmen. Die Autokorrelation und damit auch das Diffraktionsmaß können in zwei Teile zerlegt werden. Der eine entspricht den jeweiligen Größen eines gewissen Poisson-Punktprozesses und ist daher bekannt. Der zweite Teil der Autokorrelation ist durch eine sphärisch symmetrische Dichte mit kompaktem Träger gegeben. In Dimension d=1 kann die Fourier-Transformierte dieser Dichte analytisch berechnet und ihr Abfallverhalten für große Radien genauer spezifiziert werden (Proposition 3.10). Obwohl wir die entsprechende Fourier-Transformierte für höhere Dimensionen nicht analytisch berechnen können, lässt sich ein entsprechendes Abfallverhalten wie im eindimensionalen Fall ableiten (Theorem 3.11). DA - 2010 KW - Punktmenge KW - Beugung KW - Gibbs-Maß KW - Punktprozess KW - Markierter Punktprozess KW - Autokorrelation KW - Gewichtete FLC-Mengen KW - Matérn-Hard-Core-Punktprozess KW - Diffraktion KW - Model Sets KW - Quasikristalle KW - Weighted FLC sets KW - Matérn hard-core point process KW - Diffraction KW - Model sets KW - Quasicrystals LA - eng PY - 2010 TI - Diffraction of point sets with structural disorder UR - https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:361-17688 Y2 - 2024-11-22T03:50:36 ER -