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Abstract
  • Economical mesh structures are of great interest when simulating physical processes using
    the Finite Elemente Method. They are essential
    for a fast calculation producing results of high accuracy. In case of restricted problems, many
    a posteriori estimators which are the indicators for adaptive refinement turn out to be inconsistent
    in areas where the restriction takes place. The effort of the subject matter is to develop a
    method to overcome this problem by introducing saddle point
    formulations and using the Lagrangian multiplier to balance gaps in the error estimations.
    When dealing with sattle point problems there may arise the problem of unstable systems due to an
    injured inf-sup-condition, especially in the discrete case.
    We solve this problem using the Galerkin least squares method. In consequence
    we get additional terms which also have to be taken into account when developing the a posteriori estimators.
    To examine the general validity of this method we analyse problems of different type.
    That means linear and nonlinear problems with linear or nonlinear restrictions in
    the primal or dual variable, respectively.
    In all cases, the resulting adaptive mesh structures
    turn out out to be very efficient since they outline critical zones of the underlying problems
    which is confirmed by numerical tests.
Zusammenfassung
  • In der Simulation von Fertigungsprozessen mit Hilfe der Finite Elemente Technik sind
    ökonomische Gitterstrukturen von großem Interesse da sie für eine schnelle Berechnung
    bei gleichzeitiger hoher Genauigkeit unverzichtbar sind. Bei der Behandlung von restringierten
    Problemen tritt allerdings häufig das Problem auf, dass die Fehlerschätzer, die als Indikatoren
    für eine adaptive Gitterstruktur dienen, in den restringierten Bereichen inkonsistent sind, was zu
    ineffizienten Verfeinerungen führt. Für die Optimierung der Fehlerschätzer
    führen wir in dieser Arbeit Sattelpunktformulierungen ein um mit Hilfe
    des Lagrangeparameters die entstehenden Inkonsistenzen auszugleichen. Bei der Verwendung von
    gemischten System kann hier das Problem der Instabilität durch eine verletzte inf-sup Bedingung
    auftreten, das wir durch die Verwendung des Galerkin least
    squares Ansatzes beheben. Hieraus resultieren allerdings zusätzliche Terme in der Problemformulierung,
    die bei der Entwicklung der a posteriori Schätzer ebenfalls berücksichtigt werden müssen. Um die allgemeine
    Gültigkeit unserer Methode zu untersuchen, analysieren wir Probleme mit unterschiedlichen
    Eigenschaften, das heißt lineare und nichtlineare Gleichungen mit linearen bzw. nichtlinearen
    Restriktionen in der primalen oder dualen Variable.
    In numerischen Tests stellt sich heraus, dass wir in allen Fällen
    effiziente Gitterstrukturen erzielen, die die kritischen Zonen der jeweiligen
    Probleme durch hohe Verfeinerung herausarbeiten.
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