TY  - THES
A3  - Loffeld, Otmar
AB  - In vielen Problemen müssen hochdimensionale diskrete Signale aus verrauschten und
oft unterabgetasteten Daten rekonstruiert werden, was die Problematik der Lösung
von nominal unterdeterminierten, rauschbelasteten Gleichungssystemen aufwirft. Die
Theorie der komprimierten Abtastung besagt (und beweist), dass solche Signale tatsächlich
unter der Annahme der Dünnbesetztheit rekonstruiert werden können. Auf
dem breiten Forschungsgebiet, genannt Compressed Sensing – dessen Anwendungen
beispielsweise in der Medizin (MRT), Hochfrequenz-Kommunikationstechnologie und
Radar liegen – existieren bereits viele Algorithmen zur Rekonstruktion von sparsen
Signalen. Eine der wichtigsten Eigenschaften ist die so genannte Nullraum-Eigenschaft
der Sensormatrix. Sie stellt sicher, dass die sparse oder kompressible Darstellung durch
die ℓ1-Minimierung wiederhergestellt werden kann, die tatsächlich entweder durch konvexe
Optimierungsansätze, wie es der klassische Weg ist, oder alternativ durch schätztheoretische
Ansätze, z. B. durch das erweiterte linearisierte Kalman-Filter, realisiert werden kann.
In dieser Arbeit etablieren wir neue Ansätze zur Rekonstruktion sparser Signale durch
ℓ1-Minimierung mit einem Kalman-Filter. Das Kernstück unseres Kalman-Filters beruht
auf einer einfachen Idee. Auf Grundlage einer partikulären Lösung x_p (es existieren
unendlich viele Lösungen) schätzt das Kalman-Filter in jeder Iteration eine weitere
Lösung aus dem Nullraum der Messmatrix, sodass die Summe beider Vektoren eine
Lösung x = x_p + x_N mit reduzierter ℓ1-Norm erreicht. Im ersten Teil der Arbeit wird
im Kalman-Filter-Algorithmus, mit Hilfe von Konvergenzbeschleunigungsverfahren,
eine konvergierende Folge konstruiert, deren Grenzwert einen Lösungsvektor liefert,
der mit der Lösung des primal-dualen Algorithmus für ℓ1-Minimierung von Chambolle
& Pock übereinstimmt. Die Konvergenzbeschleunigungsverfahren resultieren aus dem
Delta2-Grundverfahren von Aitken. Für das Lösen von ℓ1-Minimierungsproblemen werden
zum Auffinden der Lösung vermehrt sogenannte Thresholdingverfahren eingesetzt. Im
zweiten Teil der Arbeit stellen wir das Kalman-Filter mit einem, den Anforderung genügendem,
externen Thresholdingverfahren vor. Mit diesem externen Thresholding,
welches nicht direkt das Kalman-Filter beeinflusst, können wir sparse Signale sehr
schnell rekonstruieren. Weitere Untersuchungen von rauschbehafteten Signalen mit
dem modifizierten Kalman-Filter bestätigen die Resultate in Bezug auf Rekonstruktionsfehler,
Rekonstruktionszeit, ℓ0-Norm und Supportfehler gegenüber den gängigen
bekannten ℓ1-Minimierungsalgorithmen, wie z. B. der primal-dual Algorithmus für
ℓ1-Minimierung von Chambolle & Pock und der Orthogonal Matching Pursuit.
AU  - Hage, Dunja Alexandra
DA  - 2020
DO  - 10.25819/ubsi/8734
KW  - Schwellwertverfahren
KW  - Compressed Sensing
KW  - l1-Minimierungsprobleme
LA  - ger
PY  - 2020
TI  - Neue Lösungsstrategien für l1-Minimierungsprobleme mit Kalman-Filtern
TT  - New solution strategies for l1-minimization problems with Kalman-filters
UR  - https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:467-18504
Y2  - 2024-12-26T22:55:27
ER  -