TY - THES A3 - Ohlberger, Mario AB - Momentenmodelle sind eine Klasse von spezialisierten approximativen Modellen für kinetische Transportgleichungen. Diese Modelle wandeln die kinetische Gleichung in ein geschwindigkeitsunabhängiges Gleichungssystem für die gewichteten Mittelwerte (Momente) der Lösung um. Je nachdem, welche Gewichtsfunktionen für die Mittelwerte verwendet werden und auf welche Art das Gleichungssystem geschlossen wird, unterscheiden sich die entstehenden Modelle in ihren Eigenschaften. Wird ein linearer Ansatz gewählt, so sind auch die zugehörigen Momentenmodelle linear und mit vergleichsweise geringem Aufwand zu lösen, dafür ist die Lösung aber nicht unbedingt physikalisch sinnvoll und kann zum Beispiel negative Dichten enthalten. Modelle, die auf Entropie-Minimierung beruhen, erhalten hingegen viele der grundlegenden physikalischen Eigenschaften der Lösungen. Dafür liegt der für die Lösung benötigte Rechenaufwand deutlich höher, da ein nichtlineares Optimierungsproblem in jeder Zelle des Zeit-Raum-Gitters gelöst werden muss. Darüber hinaus sind die Optimierungsprobleme nur wohlgestellt, solange die Momente innerhalb eines bestimmten Teilgebiets des Koordinatenraums (der sogenannten Realisierbarkeitsmenge) liegen, was die Entwicklung von numerischen Methoden, insbesondere solcher höherer Ordnung, deutlich erschwert. In dieser Arbeit untersuchen wir deshalb mehrere Ansätze, um die Implementierung und Lösung von (insbesondere Entropie-basierten) Momentenmodellen für lineare kinetische Gleichungen zu vereinfachen. Als erstes konzentrieren wir uns auf die Basisfunktionen (die Gewichtsfunktionen für die Momente). Oft werden diese als Polynome auf dem kompletten Geschwindigkeitsraum gewählt, wohingegen wir uns hier mit stückweise linearen Basisfunktionen beschäftigen. Wir zeigen, dass die entstehenden Modelle für nicht-glatte Lösungen ähnlich gute Approximationseigenschaften haben wie die Standardmodelle, während die Realisierbarkeitsbedingungen sehr viel einfacher und die Rechnungen deutlich schneller sind. Zudem stellen wir ein realisierbarkeitserhaltendes Finite-Volumen-Verfahren zweiter Ordnung vor und zeigen, dass die Implementierung durch die einfachere Struktur der neuen Modelle deutlich weniger komplex ist. Als zweiten Ansatz präsentieren wir ein neues numerisches Verfahren für die Entropie-basierten Momentenmodelle. Durch eine Variablentransformation müssen in dem neuen Verfahren anstelle der nichtlinearen Optimierungsprobleme nur noch positiv definite Matrizen invertiert werden, wodurch die Realisierbarkeitsbedingungen wegfallen und die Lösungen oft deutlich schneller ermittelt werden können als mit Standardverfahren. Schließlich beschäftigen wir uns mit der Möglichkeit einer zusätzlichen Modellreduktion für parameterabhängige Momentenmodelle. Hierzu nutzen wir die Reduzierte-Basis-Methode und berechnen mit der Hauptkomponentenanalyse (Proper Orthogonal Decomposition, POD) ein reduziertes Modell. Wir stellen die hierarchische approximative POD (HAPOD) vor, ein universelles und einfach zu implementierendes Verfahren um eine approximative POD zu berechnen. Die HAPOD nutzt eine fast beliebig an die verfügbaren Ressourcen anpassbare Baumstruktur, so dass jeder Rechenknoten nur die POD einer relativ kleinen Teilmenge der Eingangsvektoren berechnen muss. Wir führen eine ausführliche theoretische Analyse der HAPOD durch und zeigen die Anwendbarkeit auf lineare Momentenmodelle sowie eine gegenüber der POD deutlich verbesserte Effizienz. AU - Leibner, Tobias DA - 2021 KW - Momentenmodelle KW - Modellreduktion KW - HAPOD KW - lineare kinetische Gleichungen KW - Realisierbarkeit KW - Entropieminimierung KW - Finite-Volumen-Verfahren KW - moment models KW - model reduction KW - linear kinetic equations KW - realizability KW - minimum entropy closure KW - finite volume methods LA - eng N1 - Zugl.: Münster (Westfalen), Univ., Diss., 2021 N1 - Förderer: Deutsche Forschungsgemeinschaft / Projektnummer: 390685587 N1 - Funding organisation: Deutsche Forschungsgemeinschaft / Project number: 390685587 N1 - Förderer: Deutsche Forschungsgemeinschaft / Projektnummer: 194347757 N1 - Funding organisation: Deutsche Forschungsgemeinschaft / Project number: 194347757 PY - 2021 TI - Model reduction for kinetic equations: moment approximations and hierarchical approximate proper orthogonal decomposition UR - https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:6-85019477402 Y2 - 2024-11-22T03:53:43 ER -