In dieser Arbeit wenden wir Methoden aus der statistischen Physik auf die stochastische Inflation an. Diese, die Replika-Feldtheorie und die Gauß'sche Variationsmethode sind unseres Wissens nach noch nie zuvor in diesem Kontext angewendet worden und erlauben, das Leistungsspektrum eines skalaren Testfeldes in großer Allgemeinheit zu bestimmen. Diese Methoden stellen einen Rahmen zur Verfügung, in welchem beliebige Quantenfluktuationen behandelt werden können, und könnten ein Startpunkt sein, um Rückwirkungseffekte bezüglich der Geometrie der Raumzeit einzubeziehen.

Einführungen in kosmologische Inflation, kosmologische Störungstheorie und Anisotropien des kosmischen Mikrowellenhintergrundes leiten diese Arbeit ein. Danach erklären wir die Idee der stochastischen Inflation, wobei wir auch einige detaillierte Herleitungen präsentieren, und geben einen Überblick über wichtige Fortschritte in diesem Feld. Es folgt eine Einführung in die Methoden der Replika-Feldtheorie, und zwar in einer Weise, die direkt anwendbar ist auf die stochastische Inflation. Unsere Arbeit wird fortgeführt durch eine explizite Berechnung des Leistungsspektrums eines skalaren Testfeldes in einem Friedmann-Universum. Wir untersuchen den Einfluss von Quantenfluktuationen auf dieses Spektrum und leiten explizite Ausdrücke her, welche die Abhängigkeiten von der Zeit sowie von anderen wichtigen Parametern deutlich machen. Der Effekt von Selbst-Wechselwirkungen und mögliche Auswirkungen auf den kosmischen Mikrowellenhintergrund werden diskutiert. Wir schließen mit einer Zusammenfassung unserer Ergebnisse und geben einen Ausblick.

Ein Teil unserer Hauptresultate wurde in Phys. Rev. D 78, 103501 (2008) publiziert, worin wir zum ersten Mal einen Replika-Feldtheorie-Zugang für die stochastische Inflation präsentieren und das Auftreten des Phänomens der sogenannten dimensionellen Reduktion zeigen. Dieses impliziert, dass unter bestimmten Bedingungen Infrarot-Divergenzen in Korrelationsfunktionen auftreten können. Die genauen Bedingungen hierfür haben wir in der Veröffentlichung Phys. Rev. D 79, 44009 (2009) untersucht, worin wir zeigen konnten, dass für eine große Klasse von Ausgangssituationen diejenigen Bereiche, in denen diese Divergenzen auftreten, exponentiell schnell aus den beobachtbaren Regionen verschoben werden.

Eine weitere Publikation werden wir dem Studium von Selbst-Wechselwirkungen innerhalb des nicht-perturbativen Replika-Feldtheorie-Rahmens widmen. Für eine quartische Selbst-Wechselwirkung finden wir eine Dämpfung auf großen Skalen - ein Aspekt, der in jüngerer Zeit Aufmerksamkeit auf sich gezogen hat. Unsere Resultate sind konsistent mit denen aus der Literatur und könnten dazu beitragen, gewisse Fragestellungen zum kosmischen Mikrowellen-Hintergrund zu beantworten, sowie zu helfen, einige Probleme bezüglich Infrarot-Divergenzen in der inflationären Kosmologie zu klären.

In this thesis we apply methods from statistical physics to stochastic inflation. Those methods, the replica field theory and the Gaussian variational methods, have to our knowledge never been applied before in this context, and allow us to compute the power spectrum of a scalar test field in the most general set-up. It provides a framework to perform calculations in regions of arbitrarily large quantum fluctuations and may also serve as a starting point to address the issue of back reaction.

We first give an introduction to cosmological inflation, cosmological perturbation theory and cosmic microwave background anisotropies. Then we explain the idea of stochastic inflation, including some detailed derivations, and give an overview over major progress in this field. This is followed by an introduction to replica field theory, presented in a way directly applicable to stochastic inflation. Our work continues with a detailed calculation of the power spectrum of a scalar test field in a Friedmann Universe. We show the effect of the quantum fluctuations on the spectrum and derive explicit expressions showing its dependence on time and other important parameters. The effect of self-interactions and possible effects on the cosmic microwave background are discussed. We conclude with a summary of our results and give an outlook.

One part of our major results has been published in Phys. Rev. D 78, 103501 (2008), where for the first time we present a replica field-theoretical approach to stochastic inflation in which we find a manifestation of the phenomena of so-called dimensional reduction. It implies under certain conditions inevitable infra-red divergencies of correlation functions on large-scales. These conditions are examined in detail in Phys. Rev. D 79, 44009 (2009), where we find that generically for a wide class of circumstances the divergencies are pushed exponentially fast well beyond observable scales. A subsequent publication is dedicated to the inclusion of self-interaction within our non-perturbative replica framework. For a quartic self-coupling we find a damping of the power spectrum on large scales - an issue which has recently attracted significant attention. Our findings are fully consistent with those in the literature and may provide an explanation of certain features in the cosmic microwave background, and might also help to resolve some long-standing infra-red problems in inflationary cosmology.