Gebäude wurden in den 1950er und 1960er Jahren von Tits entwickelt und finden bis heute Anwendungen in vielen Bereichen der Mathematik. Bennett verallgemeinerte in den 80er Jahren Tits' Definition nicht-diskreter affiner Gebäude zu Gebäuden, die über einer angeordneten abelschen Gruppe $\Lambda$ modelliert sind. Diese allgemeine Klasse wird in der vorliegenden Arbeit untersucht. Neben dem Beweis struktureller Ergebnisse, wie zum Beispiel eines Erweiterungssatzes für ökologische Isomorphismen des Randes, enthält meine Arbeit den Beweis zweier Übertragungen des Kostantschen Konvexitätssatzes auf affine Gebäude. Der Beweis im simplizialen Fall beruht auf einer Charakterformel für Höchstgewichtsdarstellungen algebraischer Gruppen beziehungsweise im nicht-diskreten Fall auf Methoden der metrischen Geometrie. Weiter wird, mit algebraischen Methoden, die Existenz (notwendigerweise) nicht-diskreter affiner Gebäude mit Suzuki-Ree-Gebäude im Unendlichen bewiesen.