Ein Aspekt dieser dissertation ist, einige bekannte Ordinalzahlbezeichnungssysteme für Peano Arithmetik zu untersuchen. Es wird gezeigt, dass Phasenübergänge in Bezug auf Beweisbarkeit und Unbeweisbarkeit beobachtet werden. Schließlich kommt man zu Vergleichen von Ordinalzahlbezeichnungssystemen. Diese Dissertation zeigt auch, wie man generell solche Phasenübergänge in Systemen, die stark genug im Sinne von Gödel sind, feststellen kann. Dabei spielt die Friedmansche Miniaturisierung die entscheidende Rolle. Ein anderer Punkt der Dissertation ist das Kanamori-McAloon-Prinzip mit Parameterfunktionen. Sie sind Varianten vom endlichen Ramseysatz und äquivalent zum Paris-Harrington-Prinzip. Es wird gezeigt, dass Phasenübergänge bezüglich der Beweisbarkeit des Kanamori-McAloon-Prinzips vorkommen, wenn die Parameterfunktionenen variieren.

An aspect of the thesis is to investigate well-known ordinal notation systems for Peano arithmetic. It will be shown that the so-called phase transition phenomenon can be observed, i.e., there are thresholds between provability and unprovability. This investigation leads to a comparison of the ordinal notation systems. The thesis gives also a guide how one can generally establish such phase transitions in every logic system which is strong enough in the sense of Gödel. We shall see that Friedman style miniaturizations play the central role. Another point of the thesis is the parametrized version of the Kanamori-McAloon principle. This variants of the finite Ramsey theorem is equivalent to the Paris-Harrington principle. It will be shown that phase transitions occur with respect to the provability of the Kanamori-McAloon principle as the parameter function varies.