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Zusammenfassung
  • In der vorliegenden Arbeit werden spezielle Lösungen von parabolischen partiellen Differentialgleichungen (PDE) u_t = A u_xx + f(u, u_x), nämlich wandernde Wellen der Form u(x,t) = w(x-c t), untersucht.
    Dabei ist w das Wellenprofil und c die Geschwindigkeit.
    Das Paar (w,c) lässt sich als Gleichgewicht einer partiell differentiell algebraischen Gleichung (PDAE) auffassen, die aus PDE entsteht, indem man den Ansatz u(x,t) = v(x-g(t),t) in PDE einsetzt und eine zusätzliche Phasenbedingung einführt.
    Durch Diskretisierung von PDAE mit dem finiten Differenzenverfahren auf einem endlichen Gitter erhält man eine differentiell algebraische Gleichung (DAE).
    In der Arbeit werden sowohl der Effekt der Transformation PDE -> PDAE (das "Einfrieren der Welle") als auch der Diskretisierung PDAE -> DAE auf die Existenz und Stabilität von wandernden Wellen, bzw. allgemeiner von relativen Gleichgewichten, untersucht.
    Eines der Hauptergebnisse ist der Nachweis, dass auch DAE (unter gewissen Voraussetzungen an die Randbedingungen) ein der eingefrorenen Welle (w,c) entsprechendes Gleichgewicht besitzt, welches die Stabilitätseigenschaften der wandernden Welle erbt.
Abstract
  • This thesis deals with special solutions of parabolic partial differential equations (PDE) u_t = A u_xx + f(u, u_x), namely traveling waves of the form u(x,t) = w(x-c t).
    Here w denotes the profile of the wave and c its velocity.
    The pair (w,c) is an equilibrium of a partial differential algebraic equation (PDAE) which is constructed by inserting the ansatz u(x,t) = v(x-g(t),t) in PDE and adding an additional phase condition.
    By discretization with finite differences on a finite grid, one obtains a differential algebraic equation (DAE).
    In the thesis the effect of the transformation PDE -> PDAE (the 'freezing of the wave') and of the discretization PDAE -> DAE to existence and stability of traveling wave solutions, or more general, of relative equilibria, is analyzed.
    One of the main results is the proof of the existence of an equilibrium of DAE which corresponds to (w,c) and which inherits the stability properties of the traveling wave.
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