Häufig wird die Performance von Portfoliomanagern anhand von Benchmarks gemessen. Wird lediglich das Übertreffen der Benchmark honoriert, so werden die Manager eine Strategie verfolgen, bei der die Wahrscheinlichkeit maximiert wird, die Benchmark zu schlagen. Wird hingegen auch das Ausmaß der Unterschreitung berücksichtigt, so werden sie entweder den Erwartungswert oder die Varianz bei Benchmark-Unterschreitung minimieren. Im vorliegenden Beitrag werden für alle drei Portfolio-Strategien im zeitkontinuierlichen Rahmen analytische Lösungen ermittelt. Zu diesem Zweck wird eine Methode der statistischen Testtheorie verwendet, die auf den aus der Dualitätstheorie bekannten Satz vom komplemtenären Schlupf zurückgeführt wird. Es zeigt sich, dass sich das optimale Portfolio bei jedem der drei Strategien aus einer Investition in die Benchmark und einer Investition in das sogenannte Growth Optimum Portfolio (GOP) zusammensetzt, wobei das GOP mitunter sogar die dominierende Rolle spielt. Das Growth-Optimum Portfolio hat die gleiche Struktur wie das effiziente Tangential-Portfolio. Zudem wird dargestellt, welche Auswirkungen die Wahl der Benchmark auf das Investitions-Verhalten hat. Je volatiler die Benchmark ist, desto wahrscheinlicher ist es, diese zu übertreffen. Je weniger stark die Benchmark mit dem effizienten Tangentialportfolio korreliert ist, desto geringer ist sowohl die Wahrscheinlichkeit des Unterschreitens als auch die Varianz und der Erwartungswert beim Unterschreiten.

Performance is often measured relative to a benchmark. Managers whose payment depends on whether they beat the benchmark or not should invest according to a strategy that maximizes the probability of beating the benchmark. If a manager is judged by the extent to which a prespecified target is missed, then he should either minimize the expected shortfall or the variance of the shortfall. In this paper, an analytical solution for all three goals is developped within a continuous dynamic framework. A method from statistical test theory is adapted and explained using linear programming. It is shown that the optimal policy for all three goals is to invest a fraction of wealth in the benchmark and a fraction or multiple in the growth optimum portfolio. The latter portfolio has the same structure as the mean-variance efficient tangent portfolio. The impact of different benchmarks on the investment policy is presented. The more volatile the benchmark the more likely managers beat the benchmark. If the correlation between the benchmark and the mean-variance efficient tangent portfolio is low then the probability of beating the benchmark is high and also the expected shortfall and shortfall variance is low.