In this thesis, we strive to advance the knowledge of relations between convex optimization

and the quantum phenomena entanglement and coherence. The main research

areas we explore are rank-constrained semidefinite programming, the quantum

pure-state marginal problem and the existence of AME states as well as quantum

codes, entanglement detection, and the certification of quantum memories with coherence.

First, we start with real and complex rank-constraint semidefinite optimization problems

and rephrase them as an optimization over separable two-copy states. This reformulation

allows to approach the problem through a hierarchy of efficiently solvable

semidefinite programs that provide better and better certified bounds. We apply the

new technique to various problems in quantum information theory and beyond, such

as the optimization over pure states or unitary channels and the well-known maximum

cut problem. Furthermore, we describe an inherent symmetry in our formulation that

significantly improves the performance.

Second, we consider the application of our method to the quantum pure-state marginal

problem. In particular, we prove that the existence of n-partite absolutely maximally

entangled states with local dimension d is equivalent to the bipartite separability of a

certain state of 2n particles, and we compute that state explicitly. This application is a

striking example of how symmetries can simplify semidefinite programs and we use

them to compute high orders of our hierarchy despite the rapidly increasing dimension.

Moreover, we rewrite the existence problem of quantum error-correcting codes

as a marginal problem making our method also applicable to this area of research.

Third, since entanglement is not only a theoretically interesting phenomenon, but also

a vital resource for quantum information protocols, we investigate entanglement detection

in practical experiments. We examine scrambled data, a scenario in which the

mapping between outcomes and their respective probabilities is lost. Furthermore, we

use the joint numerical range of observables to find measurements that allow entanglement

detection even when the confidence region due to statistical and systematic

errors is large.

Finally, we introduce a quality measure for quantum memories that quantifies the

performance based on the memory’s ability to preserve coherence. Remarkably, this

measure also distinguishes entanglement-breaking channels from genuine quantum

memories. For the case of single-qubit channels, we find various theoretical bounds

and a simple measurement scheme to approximate our performance measure.

Mit dieser Dissertation wollen wir das Verständnis der Zusammenhänge zwischen

konvexer Optimierung und der Quantenphänomene Verschränkung und Kohärenz

erweitern. Die Hauptforschungsgebiete, die wir erkunden, sind rangbeschränkte semidefinite

Programmierung, das Marginalproblem reiner Quantenzustände und die

Existenz von AME-Zuständen sowie Quantencodes, Verschränkungsdetektion und die

Zertifizierung von Quantenspeichern mittels Kohärenz.

Als erstes beschäftigen wir uns mit reellen und komplexen rangbeschränkten semidefiniten

Optimierungsproblemen und formulieren diese als Optimierung über separierbare

Zwei-Kopien-Zustände um. Das erlaubt es, mittels einer Hierarchie effizient lösbarer

semidefiniter Programme immer bessere zertifizierte Schranken zu berechnen.

Wir wenden die Methode auf verschiedene Probleme in der Quanteninformationstheorie

an, wie etwa die Optimierung über reine Zustände oder unitäre Kanäle und

das Problem des maximalen Schnitts eines Graphen. Außerdem beschreiben wir eine

inhärente Symmetrie unserer Formulierung, die die Komplexität erheblich verringert.

Dann wenden wir unsere Methode auf das Marginalproblem reiner Quantenzustände

an. Insbesondere beweisen wir, dass die Existenz n-partiter absolut maximal verschränkter

Zustände mit lokaler Dimension d äquivalent zu der bipartiten Separierbarkeit

eines bestimmten 2n-Teilchenzustands ist, den wir explizit berechnen. Das zeigt

eindrucksvoll, wie Symmetrien semidefinite Programme vereinfachen können, sodass

hohe Ordnungen unserer Hierarchie trotz rasch steigender Dimension berechenbar

sind. Ferner formulieren wir das Existenzproblem von Quantenfehlerkorrekturcodes

als Marginalproblem, sodass unsere Methode auch hierfür anwendbar wird.

Da Verschränkung nicht nur theoretisch interessant ist, sondern auch eine essentielle

Ressource für Quanteninformationsprotokolle, erforschen wir anschließend deren

Detektion in der Praxis. Wir untersuchen ein Szenario, bei dem die Zuordnung von

Messergebnissen zu den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten unklar ist. Außerdem

nutzen wir das gemeinsame numerische Bild von Observablen, um Messungen zu

finden, die Verschränkungsdetektion selbst dann ermöglichen, wenn die Konfidenzregion

aufgrund statistischer und systematischer Fehler relativ groß ist.

Abschließend stellen wir ein Qualitätsmaß für Quantenspeicher vor, das die Leistungsfähigkeit

auf Basis von Kohärenzerhaltung misst. Bemerkenswerterweise differenziert

das Maß auch zwischen verschränkungszerstörenden Kanälen und echten Quantenspeichern.

Für Ein-Qubit-Kanäle beschreiben wir theoretische Schranken und einfache

Messungen, um das Maß näherungsweise zu bestimmen.