Eine einfache und stabil endliche Halbgruppe S in Cu (womit wir die durch die Axiome (O1) bis (O6) charakterisierte Kategorie meinen) ist die Vereinigung der Unterhalbgruppe der kompakten Elemente, hier bezeichnet als C(S), und der Unterhalbgruppe der nicht-kompakten Elemente, hier bezeichnet als D(S). Wir zeigen, dass eine große Klasse von Halbgruppen in Cu, einschließlich der Cuntz-Halbgruppen Cu(A) jeder einfachen, separablen, nicht-elementaren und stabil endlichen C*-Algebra, eine Vorgängerabbildung c_S besitzt, i.e. einen treuen Homomorphismus geordneter Halbgruppen von C(S) nach D(S), so dass c_S(x) = max {y in S : y < x } für alle x ungleich Null in C(S). Wir nennen solche Halbgruppen zerlegbar. Wir definieren Kategorien C, D, zu welchen die Halbgruppen C(S), D(S) gehören,und führen den Begriff einer Verbindungsabbildung c zwischen Halbgruppen C, D aus den Kategorien C, D ein. Wir zeigen, dass die Kategorie solcher Tripel (C, D, c) mit entsprechenden Morphismen äquivalent zur vollen Unterkategorie der einfachen und zerlegbaren Halbgruppen in Cu ist.

A simple and stably finite semigroup S in Cu (by which we mean the category characterised by axioms (O1) to (O6)) is the union of the subsemigroup of all compact elements, which we call C(S), and the subsemigroup of all noncompact elements (and 0), which we call D(S). We show that a large class of semigroups S in Cu, including the Cuntz semigroups Cu(A) of every simple, separable, nonelementary, and stably finite C*-algebra A, admit a predecessor map c_S, a faithful homomorphism of ordered semigroups from C(S) to D(S) such that c_S(x) = max {y in S : y < x } for all nonzero x in C(S); we call such a semigroup decomposable. We then describe categories C, D of which the semigroups C(S), D(S) are objects, and introduce the notion of a composition map c between simple semigroups C, D in the categories C, D respectively. We show that a category of such triples (C, D, c) with appropriate morphisms is equivalent to the full subcategory of simple and decomposable semigroups in Cu.