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Zusammenfassung
  • Die im Jahre 1995 von Irving Kaplansky gestellte Frage nach der Darstellbarkeit ganzer Zahlen durch die ternäre Form x^2+y^2+7z^2 wird unter Annahme einer Verallgemeinerten Riemannschen Vermutung aufgeklärt. Für jede Ausnahme N steht die Klassenzahl des imaginär-quadratischen Zahlkörpers Q(sqrt(-28N)) in Zusammenhang mit dem N-ten Fourierkoeffizienten einer Spitzenform des Gewichts 3/2. Der Satz von Waldspurger liefert eine Identität zwischen diesem Fourierkoeffizienten und dem kritischen Wert der getwisteten L-Reihe einer elliptischen Kurve, die der Spitzenform via Shimura-Liftung und Eichler-Shimura-Theorie zugeordnet ist. Unter der Riemannschen Vermutung für diese L-Reihen und die L-Reihen der zu Q(sqrt(-28N)) gehörigen Kronecker-Charaktere wird durch aufwendige Berechnungen eine Abschätzung erzielt, die für Ausnahmen N>2x10^(12) im Widerspruch zu den obigen Ergebnissen steht. Die Überprüfung aller kleineren N per Computer liefert dann eine bedingte Antwort auf Kaplanskys Frage.
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