Wir benutzen A. Anconas Potentialtheorie schwach koerziver Operatoren auf Gromov-hyperbolischen Mannigfaltigkeiten beschränkter Geometrie, um eine asymptotische Formel für positive harmonische Funktionen ausgedrückt durch ihr Martin-Maß und Greensche Funktionen anzugeben. Den Fall des Laplace-Operators untersuchen wir genauer und erhalten gewichtete Friedrichs- und lineare isoperimetrische Ungleichungen, die robuster und informativer als ihre ungewichteten Analoga sind. Unter Einbeziehung dieser Ungleichungen geben wir ein Kriterium für die Existenz kompakter (verallgemeinerter) Seifenblasen in nichtkompakten Mannigfaltigkeiten. Das transparente Transformationsverhalten dieser Theorie unter konformen Deformationen wie der hyperbolischen Entfaltung ermöglicht die direkte Konstruktion von Metriken positiver Skalarkrümmung mit kompakten Seifenblasen. Dies lässt sich auf das singuläre Yamabe-Problem und eine Klasse singulärer Flächenminimierer in Mannigfaltigkeiten positiver Skalarkrümmung anwenden.

We employ A. Ancona’s potential theory of weakly coercive operators on Gromov hyperbolic manifolds of bounded geometry to state an asymptotic formula for positive harmonic functions expressed in terms of their Martin measure and Green’s functions. We investigate the case of the Laplacian in more detail and obtain weighted Friedrichs and linear isoperimetric inequalities, which are more robust and more informative than their unweighted counterparts. Using these inequalities, we find a criterion for the existence of compact (generalised) bubbles in noncompact manifolds. Since these results transform transparently under conformal deformations such as hyperbolic unfolding, we can directly construct positive scalar curvature metrics with compact bubbles. Applications include the singular Yamabe problem and a class of singular area-minimisers in manifolds of positive scalar curvature.